很有趣的几道数学题目!

1、两个人A,B,数字为2~100之间的共99个自然数。现找出两个数,把其和告诉A,把其积告诉B。然后问A知道不知道是哪两个数,A说:“虽然我不 知道,但是肯定B也不知道。”再问B,B说:“本来我不知道,但是听到A说这句话,现在我知道了。” A听到B说他知道了,然后就说:“现在我也知道了”。那么这两个数是多少呢?

2、三个自然数,其中一个是另外两个数之和。现 在有三个人A、B、C,把数字分别贴在每个人脸上,各人都只能看到另外两人的数字。现在问A,你知道自己脸上的数吗?A说不知道,再问B,也不知道,再问 C,也不知道;然后再问A,还是不知道,再问B,也不知道,再问C,C说“我脸上的数是72。”那么另外两个数是多少呢?

3、有12个球特征相同,其中有一个重量异常(没错!),现在要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。

第一题
1)由A第一次回答知道,两数合计不是偶数(什么是歌德巴赫猜想),且不能是2与素数之和.如此B的乘积为2^k*p1^m1*p2^m2..形式,p1,p2..为奇素数,k,m1,m2..为大于或等于1的自然数;
2)由B回答知,乘积只能是2^k*p形式.否则有多种和的形式如:2^k+p1^m1*p2^m2..或2^k*p1^m1+p2^m2..等等,B无法确知.
这样和的形式只能是:2^k+p.即两个数一个为2^k,另一个为素数.且由1)和条件2^k<100,p<100,知1<k<7;
3)由A第二次回答知,其和2^k+p不能同时表为2^n+q形式,其中q为不等于p的奇素数,n为自然数且1<n<7;否则因存在多种和A无法确知.所以求2^k+p为唯一表达的奇数就是解,其中1<k<7,p为奇素数;
这样就可以从奇数开始由小到大一个个过筛,每个奇数都表达成: 质数和素数的区别在哪里呢?请问:
Q=2+P1=4+P2=8+P3=2^4+P4=2^5+P5=2^6+P6;只要P1是素数或P2到P6中发现有两个或两个以上素数就筛掉.1<P<99;
如5=2+3,7=2+5,9=2+7,11=2+9=4+7=8+3,13=2+11,15=2+13,都筛掉;
而17=2+15=4+13=8+9;只有唯一的2^k+p=4+13表达,符合要求.
因此两个数为4,13.和为17,积为52.
关于上限100是必要的,否则101也符合条件,A无法判断.
因101=2+99=4+97=8+93=16+85=32+69=64+37;有唯一2^k+p=64+37符合要求.
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由A说:“虽然我不知道,但是肯定B也不知道。”得:和不是两个素数的和
得出以下数字:
11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59。。。。。等
通过以上列出的和,推出积的可能性:
和-》积
11-》18,24,28,30
17-》30,42,52,60,66,70,72
23-》42,60,76,90,102,112,120
27-》50,72,92,110,126,140,152。。。。
29-》54,78,100,120,115,138,154。。。。
35-》66,96,124,150,174,196。。。。

根据“B说:“本来我不知道,但是听到A说这句话,现在我知道了。” ”我们首先可以删除一些重复出现的积,如30,120
得到:
11-》18,24,28,
17-》52,
23-》42,76,
27-》50,92。。。
29-》54,78。。。。
35-》96,124。。。

由“A对B说:呵呵,我也知道了。”可以知道积是唯一的,那只有52了
所以得到和是17,积是52

答案就是4和13。

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第二题
1)设三个数为a,b,a+b;显然a,b不会同时为0,先考虑是否有一个为0.
设a=0,则只能有(b,b,0)分布,若A为0,则A因无法判断自己是0还是2b,只能答不知,但B会立即知道自己是b;由题设知不可能有0.
2) 考虑是否有a=b,则只能有(b,b,2b)分布,如A为2b,则A因无法判断自己是2b还是0,只能答不知,同样B、C因无法判断自己是b还是3b,会 答不知,由第一轮回答后,A立即知道自己不会是0;否则B、C可以判断出自己是b,所以在第二轮开始,A会回答2b,由题设知不可能有a=b.
3) 设有(b,2b,3b)分布,如A为2b,B为b,C为3b,则A因无法判断自己是2b还是4b,只能答不知,同样B因无法判断自己是b还是5b,只能答 不知、C因无法判断自己是b还是3b,会答不知。同2)分析由第一轮回答后,C知道如果自己为b,则第二轮开始A会立即知道自己是2b,不会答不知道,所 以C可以判断出自己是3b,但因C是最后回答,所以在第二轮最后,C会回答3b,由题设知3b=72.所以b=24,2b=48。
同样,如A为b,B为2B,C为3B也是同样答案,所以只能知道另两个数是24、48,而无法判断其在A、B间的分布。
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1、两边相等,从剩下的6个取3个换下其中一边的3个,若相等,则剩下的3个中有异常,若不相等,则刚换上的3个有异常(并判断出异常是轻还是重);从有异常的3个中,再两边各称1个,即可分出那一个异常了。

2、两边不等,从剩下的6个取3个换下其中一边的3个,若相等,则换下的3个中有异常,若不相等,则未换下的有异常(并判断出异常是轻还是重);再从有异常的3个中两边各称1个,即可知结果。

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